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고속 분석 기법을 이용한 스위칭 컨버터 동적 분석 (1)

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글/크리스토프 배소(Christophe Basso), 온 세미컨덕터
    슈맹 데 배소 캄보(Chemin de Basso Cambo), 툴루즈 쎄덱스(Toulouse Cedex), 프랑스

메쉬 노드 분석이 전기 회로의 전달 함수 해석에 적합하다면 한 번에 의미 있는 기호 수식을 구하는 것이 종종 불가능하게 되며, 해당 수식을 얻기 위해서는 추가적인 노력이 필요하게 된다. 미들브룩 박사(Dr. Middlebrook)가 그의 창립 논문에서 언급한 것처럼, 이득, 극점, 영점을 구분하는 인수분해 형태의 저 엔트로피 수식을 얻는데 고전적 분석 기법을 적용하는 것은 종종 대수 마비로 이어질 수 있다 (참고문헌 [1], [2] 참조). 이 경우 빠른 분석 회로 기법(FACT)은 대학에서 배운 것을 기반으로 범위를 확장하여 분석을 대폭 단순화하는 데 도움이 된다. FACT 기법들을 사용하게 되면 실행 속도가 향상될 뿐만 아니라 최종 결과는 종종 추가적 인수 분해 작업이 필요 없는 잘 정렬된 다항식 형태로 나타난다 (참고문헌 [3], [4] 참조).
본문은 스위칭 컨버터의 제어 대 출력 전달 함수를 결정하기 위해 나중에 적용되는 FACT 기법들에 대한 간략한 소개로 시작된다. 우리는 불연속 전도 모드(DCM)로 동작하는 싱글 엔드형 전압 모드 커플드 인덕터 SEPIC 변환기를 선택했다. PWM 스위치(참고문헌 [5] 참조)는 소신호 모델을 형성하는 데 사용된다.

고속 분석 기법에 대한 간략한 소개

이 FACT 기법들의 기본 원리는 여자 신호가 0으로 감소될 경우와 응답이 Null 처리될 경우의 두 조건에서 회로 시상수들(τ = RC 또는 τ = L/R)을 결정하는 데 있다. 이 기법을 사용하면 특정 전달 함수를 결정하는 것이 얼마나 빠르고 직관적인지 알 수 있다. 이 방법을 기반으로 한 분석 기법들은 참고문헌 [6],  [7]에 기술된 것처럼 수십 년 전부터 시작되었다.
전달 함수는 여기 신호인 자극과 해당 여자에서 기인한 응답 신호의 연계성을 나타낸 수학적인 관계를 나타낸다. 스위칭 컨버터의 선형화된 이상적 전력 단계처럼 준정적 이득(H0)을 지연 없이 표출하는 선형 시 불변 (LTI) 시스템을 고려할 경우 제어 신호 Verr(자극)와 출력 Vout(응답)과의 관계를 나타내는 전달 함수 H는 다음과 같은 수식으로 표현될 수 있다.

H(s) = Vout(s)/Verr(s) = H0 N(s)/D(s)

선도 항 H0은 s = 0에서 평가된 시스템이 나타내는 이득 또는 감쇠에 해당된다. 이 항은 존재하는 전달 함수 단위를 처리한다. 우리의 경우(Verr 및 Vout)처럼 응답 및 여자 모두가 볼트로 표시되는 경우 H는 단위가 없다. 분자 N(s)는 전달 함수의 영점들을 제어한다. 수학적으로 영점들은 함수 크기가 0인 근들을 의미한다. FACT 기법들을 통해 우리는 수학적 추상화를 사용하여 이들 영점을 쉽게 표출시킬 수 있다. 조화 분석에서 일반적으로 s-평면의 세로축만을 고려하는 대신, 우리는 음수 근들을 감안한 전체 평면을 다룰 것이다. 이와 같이, 영점은 입력 신호가 영점 각 주파수 sz로 동조될 때 출력 응답의 Null 처리에 의해 발현될 것이다. 이 경우 변환된 회로의 일부 임피던스가 신호 전파를 차단하고 여기원이 존재하더라도 응답이 Null 처리된다. 즉, 변환된 회로가 s = sz에서 여자 되면 신호 경로의 직렬 임피던스가 무한대가 되거나 지류가 자극을 지면으로 분로한다. 이 편리한 수학적 추상화는 대수를 한 줄도 작성하지 않고도 검사를 통해 영점을 탐색하는 데 엄청난 도움이 된다는 것에 주목하라. 이 접근 방법에 대한 상세 내용은 참고문헌 [8]에서 확인할 수 있다.
분모 D(s)는 회로 고유 시상수들에 의해 형성된다. 이들 시상수는 여자 신호를 0으로 설정하고, 회로에서 일시적으로 제거될 때 고려되는 커패시터 또는 인덕터 단자에서 "관찰되는" 저항을 결정하여 얻을 수 있다. 여기서 “관찰하기”란, 제거된 에너지 저장 요소 (C 또는 L)의 패드에 걸쳐 옴 미터(저항계)를 놓고 표시되는 저항을 읽는 것을 상상하면 된다. 사실 이것은 아주 간단한 일이다. 네트워크의 왼쪽 편을 바이어스 하는 주입원(자극)을 포함한 일차 수동 회로를 묘사하고 있는 그림 1을 참조하라. 입력 신호 Vin은 메쉬들과 노드들을 통해 전파되어 저항 R3에 걸쳐 관찰되는 응답 Vout 을 형성한다. 우리는 Vout 과 Vin 의 관계를 나타내는 전달 함수 G를 도출하는 데 관심이 있다...(중략)